Question

椭圆与直线x+y-1=0相交于P、Q两点，且（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：等于定值；
（Ⅱ）当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的取值范围．

Answer

（Ⅰ）联立方程组，消去y得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0，由△＞0推出a2+b2＞1，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得x1x2+y1y2=0，由此能够推导出．
（Ⅱ）由由、题高级条件能够推导出，再由得，由此能够推陈出新导出长轴长的取值范围．
（1）证明：
消去y得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0
△=4a4-4（a2+b2）a2（1-b2）＞0，a2+b2＞1
设点P（x1，y1），Q（x2，y2），
则，
由，x1x2+y1y2=0，
即x1x2+（1-x1）（1-x2）=0
化简得2x1x2-（x1+x2）+1=0，
则
即a2+b2=2a2b2，故
（Ⅱ）【解析】
由
化简得
由得，
即
故椭圆的长轴长的取值范围是．