Question

如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁，F₂为顶点的三角形的周长为．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明k₁•k₂=1；
（Ⅲ）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为=，及椭圆的定义得到又2a+2c=，解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；
（Ⅱ）设点P（x，y），根据斜率公式求得k1、k2，把点P（x，y）在双曲线上，即可证明结果；
（Ⅲ）设直线AB的方程为y=k（x+2），则可求出直线CD的方程为y=（x-2），联立直线和椭圆方程，利用韦达定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，求得λ的值．
【解析】
（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为=，
得，又2a+2c=，
所以可解得，c=2，所以b2=a2-c2=4，
所以椭圆的标准方程为；
所以椭圆的焦点坐标为（±2，0），
因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，
所以该双曲线的标准方程为．
（Ⅱ）设点P（x，y），
则k1=，k2=，
∴k1•k2==，
又点P（x，y）在双曲线上，
∴，即y2=x2-4，
∴k1•k2==1．
（Ⅲ）假设存在常数λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，
则由（II）知k1•k2=1，
∴设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=（x-2），
由方程组消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2-8=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则由韦达定理得，，
∴AB==，
同理可得CD===，
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ==-==，
∴存在常数λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．