Question

已知数列a_n满足a_n+1=|a_n-1|（n∈N^*），（1）若，求a_n；
（2）是否存在a₁，n（a₁∈R，n∈N^*），使当n≥n（n∈N^*）时，a_n恒为常数．若存在求a₁，n，否则说明理由；
（3）若a₁=a∈（k，k+1），（k∈N^*），求a_n的前3k项的和S_3k（用k，a表示）

Answer

（1）由数列an满足an+1=|an-1|（n∈N*），，我们分别求出a2，a3，a4的值，分析变化的周期性规则，即可得到an的表达式；
（2）我们分an≥1时，0＜a1＜1时，a1=b≥1时和a1=c＜0时，几种情况，分别进行讨论，最后将讨论结论综合，即可得到结论；
（3）当a1=a∈（k，k+1）（k∈N*）时，易知a2=a-1，a3=a-2，…，ak=a-（k-1），利用拆项法，即可得到答案．
【解析】
（1），
∴时，
，其中k∈N*
（2）因为存在，
所以当an≥1时，an+1≠an
①若0＜a1＜1，则a2=1-a1，a3=1-a2=a1，此时只需：a2=1-a1=a1，∴
故存在
②若a1=b≥1，不妨设b∈[m，m+1），m∈N*，易知am+1=b-m∈[0，1），
∴am+2=1-am+1=1-（b-m）=am+1=b-m
∴，∴时，
③若a1=c＜0，不妨设c∈（-l，-l+1），l∈N*，易知a2=-c+1∈（l，l+1]，
∴a3=a2-1=-c，，al+2=-c-（l-1）∈（0，1]
∴，∴，则
故存在三组a1和n：时，n=1；时，n=m+1；时，n=m+2其中m∈N*
（3）当a1=a∈（k，k+1）（k∈N*）时，
易知a2=a-1，a3=a-2，，ak=a-（k-1），
ak+1=a-k∈（0，1）ak+2=1-ak+1=k+1-a，
ak+3=1-ak+2=a-k，ak+4=1-ak+3=k+1-a，
a3k-1=a-k，a3k=k+1-a
∴S3k=a1+a2++ak+ak+1+ak+2+ak+3+ak+4++a3k-1+a3k=a+（a-1）+（a-2）++a-（k-1）+k