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如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=...

如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分别为PC、PD、BC的中点.
(Ⅰ)求证:PA⊥EF;
(Ⅱ)求证:FG∥平面PAB.

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(Ⅰ)由于EF∥CD,要证明PA⊥EF,只要证CD⊥PA,结合已知,PD⊥平面ABCD,可得CD⊥PD.由ABCD为正方形,可得CD⊥AD.则可得CD⊥平面PAD可证 (Ⅱ)(法一)利用线面平行的判定定理,要证FG∥平面PAB.只要证明FG平行于平面PAB内的一条直线,结合题目特点考虑取PA的中点H,则由中位线的性质可知四边形FHBG是平行四边形.从而可得FG∥HB (法二)利用面面平行的性质,要证FG∥平面PAB.只要证明平面EFG∥平面PAB即可 证明:(Ⅰ)∵PD⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD, ∴CD⊥PD. 又ABCD为正方形, ∴CD⊥AD. ∵PD∩AD=D, ∴CD⊥平面PAD.-----------(3分) ∵PA⊂平面PAD, ∴CD⊥PA. ∵EF∥CD, ∴PA⊥EF.----------(6分) (Ⅱ)取PA的中点H,连接FH,HB, ∵F,H,G分别是PD,PA,BC的中点,且ABCD为正方形, ∴FH∥AD,BG∥AD, 且FH=AD,BG=AD ∴FH∥BG,且FH=BG. ∴四边形FHBG是平行四边形. ∴FG∥HB.----------(10分) 又∵FG在平面PAB外,HB⊂平面PAB. ∴FG∥平面PAB.----------(12分) (法二)∵F,H,G分别是PD,PA,BC的中点,且ABCD为正方形, ∴EF∥AB,EG∥PB, 由线面平行的判定定理可知,EF∥平面PAB,EG∥平面PAB ∵EF∩EG=E ∴根据平面与平面平行的判定定理可得,平面EFG∥平面PAB ∵FG⊆平面EFG ∴FG∥平面PAB.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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