Question

已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）²（x∈R）．
（Ⅰ）若f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线27x+y-8=0平行，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若对任意x∈[-2，1]，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（I）欲求函数f（x）的极值，只须求出a值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而可求出a值，先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值．
（II）题中条件：“对任意x∈[-2，1]，不等式恒成立”应用是解题的关键，须对字母a进行讨论：a＜0和a＞0．再分别求出函数f（x）的最大值，最后让最大值小于，得到a的不等式即可解得实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=ax（x-2）2=ax3-4ax2+4ax，
∴．
∴f′（1）=-a=-27，得a=27
∴f（x）=27x（x-2）2（x∈R）（2分）
令fn（x）=0得，
∴或x=2．
又函数f（x）在上为增函数，
在上为减函数，
在（2，+∞）上为增函数． （4分）
∴f（x）在时取得极大值，．
在x=2时取得极小值f（2）=0；（6分）
（Ⅱ）由，知
当a＞0时，函数f（x）在上是增函数，
在上是减函数．
此时，．
又对∀x∈[-2，1]，不等式恒成立．
∴，得，
∴． （9分）
当a＜0时，函数f（x）在上是减函数，
在上是增函数．
又f（-2）=-32a，f（1）=a，此时，ymax=f（-2）=-32a．
又对∀x∈[-2，1]，不等式恒成立．
∴得，∴．
故所求实数的取值范围是． （12分）