Question

如图，已知A、B为椭圆和双曲线的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且．设AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄．
（1）求证：；
（2）求k₁+k₂+k₃+k₄的值；
（3）设F₁、F₂分别为双曲线和椭圆的右焦点，若PF₁∥QF₂，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．

Answer

（1）设P（x1，y1），则k1•k2=•=，再利用点P（x1，y1）在双曲线上，从而可证；
（2）先计算k1+k2=+==•，设Q（x2，y2）同理可得k3+k4=-•，与共线⇒=，从而可求得k1+k2+k3+k4的值；
（3）由（2）可求得∴（k1+k2）2=4•，（k3+k4）2=4•，PF1∥QF2⇒|OF1|=λ|OF2|⇒λ2=⇒=，从而得到（k1+k2）2=4，（k3+k4）2=4；问题即可解决．
（1）证明：设P（x1，y1），k1•k2=•=，且，
∴x12-a2=•y12，
∴；
（2）【解析】
∵k1+k2=+===•，
设Q（x2，y2），同理可得k3+k4=-•，
又与共线，
∴x1=λx2，y1=λy2，
∴=，
∴k1+k2+k3+k4=（-）=0；
（3）【解析】
∵，
∴，又，
∴，又，
∴，
又∵若PF1∥QF2，
∴|OF1|=λ|OF2|，
∴λ2=，
∴=•=，
∴（k1+k2）2=4•=4•=4；
同理（k3+k4）2=4；
又，，
∴k12+k22+k32+k42=（k1+k2）2+（k3+k4）2-2（k1•k2+k3•k4）=4+4-0=8．