Question

已知四棱锥P-ABCD（如图）底面是边长为2的正方形．PA⊥平面ABCD，PA=2，M、N分别为AD、BC的中点，MQ⊥PD于Q．
（Ⅰ）求证：平面PMN⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角P-MN-Q的余弦值．

Answer

（Ⅰ）要证明平面PMN⊥平面PAD，我们只要证明一个平面经过另一个平面的垂线即可，分析图中已知直线易得，MN⊥平面PAD满足要求，故我们可以先MN⊥平面PAD，然后根据面面垂直的判定定理，即可求解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，∠PMQ即为二面角P-MN-Q的平面角，解三角形PMQ，即可得到答案．
证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，MN⊂底面ABCD
∴MN⊥PA
又∵MN⊥AD，且PA∩AD=A
∴MN⊥平面PAD
又∵MN⊂平面PMN
∴平面PMN⊥平面PAD
（Ⅱ）由（Ⅰ）MN⊥平面PAD知：PM⊥MN，MQ⊥MN
∴∠PMQ即为二面角P-MN-Q的平面角
而PM=，MQ=，
∴cos∠PMQ==