Question

已知函数f（x）=x³+（k-1）x²+（k+5）x，其中k∈R．
（I）若函数f（x）有三个不同零点，求k的取值范围；
（II）若函数f（x）在区间（0，3）上不是单调函数，求k的取值范围．

Answer

（I）函数f（x）有三个不同零点，即方程f（0）=0有三个不同的实数根，也即x3+（k-1）x2+（k+5）x=0有三个不同的实数根，易知x3+（k-1）x2+（k+5）x=0有一个根为0，
所以x2+（k-1）x+（k+5）=0有两个不相等的非零实根，再利用判别式判断k为何值时符合条件即可．
（II）解法一：若函数为增函数，则导数大于0，若函数为减函数，则导数小于0，因为函数f（x）在区间（0，3）上不是单调函数，所以导数既有正值也有负值，也即f′（x）=0有两个不相等的实数根，且至少有一个实数根在区间（0，3）内，再分四种情况：①一个实根在x=0取得，一个实根在区间（0，3）内；②一个实根在x=3取得，一个实根在区间（0，3）内；③一个实根在区间（0，3）内，另一个实根在区间[0，3]外；④在区间（0，3）内有两个不相等的实根，分别讨论k的取值范围即可．
解法二：同解法一，可知，f′（x）=0有实数根，且△≠0，所以∃x∈（0，3），使得k（2x+1）=-（3x2-2x+5）成立，即∃x∈（0，3），使得k=-成立，利用导数求出的范围，也即k的范围，再与△≠0解得的k的范围取交集即可．
【解析】
（I）∵函数f（x）有三个不同零点，∴方程f（x）=0有三个不同的实数根，
即x3+（k-1）x2+（k+5）x=0有三个不同的实数根，
∴方程x2+（k-1）x+（k+5）=0有两个不相等的非零实根，
∴
∴
∴-11＜k＜-3，且k≠-5
故k的取值范围是（-11，-5）∪（-5，-3）．
（II）解法一：f′（x）=3x2+2（k-1）x+（k+5），
∵函数f（x）在区间（0，3）上不是单调函数的充要条件是关于x的方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，
且至少有一个实数根在区间（0，3）内．
即3x2+2（k-1）x+（k+5）=0有两个不相等的实数根，且至少有一个实数根在区间（0，3）内．
①若f′（0）=k+5=0，则k=-5，f′（x）=3x2-12x=3x（x-4）．
方程f′（x）=0的两个实根0，4均不在区间（0，3）内，所以k≠-5．
②若f′（3）=7k+26=0，则k=-，f′（x）=3（x-3）（x-）．
方程f′（x）=0在区间（0，3）内有实根，所以k可以为-
③若方程f′（x）=0有一个实根在区间（0，3）内，另一个实根在区间[0，3]外，
则f′（0）f′（3）＜0，即（k+5）（7k+26）＜0，-5＜k＜-
④若方程f′（x）=0在区间（0，3）内有两个不相等的实根，则
，
∴，
∴-＜k＜-2
综合①②③④得k的取值范围是（-5，-2）
解法二：f′（x）=3x2+2（k-1）x+（k+5），
函数f（x）在区间（0，3）上不是单调函数的充要条件是关于x的方程3x2+2（k-1）x+（k+5）=0
在区间（0，3）上有实根且△=4（k-1）2-12（k+5）≠0
关于x的方程3x2+2（k-1）x+（k+5）=0在区间）0，3）上有实根的充要条件是
∃x∈（0，3），使得k（2x+1）=-（3x2-2x+5）
∴∃x∈（0，3），使得k=-=-[（2x+1）+-]
令t=2x+1，有t∈（1，7），记h（t）=t+，H′（t）=1-=
由h′（t）＜0，得1＜t＜3，由h′（t）＞0，得3＜t＜7
∴函数h（t）在[1，3]上单调递减，在[3，7]上单调递增，
∴有h（t）∈[6，10]，
即k=-[h（t）-]∈（-5，-2]．
又由△=4（k-1）2-12（k+5）≠0，得k≠-2，且k≠7
故k的取值范围是（-5，-2）