Question

已知数列{a_n}的前n和S_n满足：S₁=-1，S_n+1+2S_n=-1（n∈N^*）数列{b_n}的通项公式为bn=3n-4（n∈N^*）
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）试比较a_n与b_n的大小；
（III）某圆的圆心C在x轴上，问点列{An（b_n，a_n）}：A₁（b₁，a₁），A₂（b₂，a₂），…，A_n（b_n，a_n）中是否至少存在三点落在圆C上？说明理由．

Answer

（I）Sn+1+2Sn=-1，再写一式Sn+2+2Sn+1=-1，两式相减整理得an+2=-2an+1从而可知数列{an}是首项为-1，公比为-2的等比数列，故可求其通项公式
（II）由于a1=-1，b1=-1；a2=2，b2=2；a4=8，b4=8；∴当n=1，2，4时，an=bn，再考虑n=2k+1时，an＜bn；当n=2k（k≥3）时，an＞bn即可；
（III）假设存在，利用圆心C在x轴上，故可设圆C的方程为：x2+y2+Dx+F=0，代入化简可证．
【解析】
（I）∵Sn+1+2Sn=-1，∴Sn+2+2Sn+1=-1，两式相减整理得an+2=-2an+1…（2分）又a1=S1=-1，a2=-2a1，∴数列{an}是首项为-1，公比为-2的等比数列，其通项公式是an=-（-2）n-1（n∈N*）    …（4分）
 （II）（1）a1=-1，b1=-1；a2=2，b2=2；a4=8，b4=8；∴当n=1，2，4时，an=bn …（6分）
（2）当n=2k+1时，a2k+1=-（-2）2k＜0，b2k+1=6k-1＞0，∴an＜bn…（7分）
（3）当当n=2k（k≥3）时a2k=22k-1≥16（C2k-5+C2k-51）=32k-64，b2k=6k-4，∴an-bn≥26k-60≥18＞0即an＞bn…（9分）
（III）假设点列{An（bn，an）}中存在三点An（3n-4，-（-2）n-1），Am（3m-4，-（-2）n-1），Ak（3k-4，-（-2）k-1）（n＞m＞k≥1）落在圆C上．
因圆心C在x轴上，故可设圆C的方程为：x2+y2+Dx+F=0．…（10分）
从而9n2-24n+16+4n-1+（3n-4）D+F=0    ①
9m2-24m+16+4m-1+（3m-4）D+F=0        ②
9k2-24k+16+4k-1+（3k-4）D+F=0          ③
由①-②，②-③得9（n+m）（n-m）-24（n-m）+（4n-1-4m-1）+3（n-m）D=0④
9（m+k）（m-k）-24（m-k）+（4m-1-4k-1）+3（m-k）D=0        ⑤
由④-⑤整理得，∵n＞m＞k≥1，∴…（12分）
作函数由知函数是增函数．产生矛盾．
故点列{An（bn，an）}中不存在三点落在圆C上．…（14分）