Question

已知数列{a_n}中，a₁=-1，且 （n+1）a_n，（n+2）a_n+1，n 成等差数列．
（Ⅰ）设b_n=（n+1）a_n-n+2，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）（仅理科做） 若a_n-b_n≤kn对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（Ⅰ），由b1=2a1-1+2=-1，知，由此能够证明数列{bn}是等比数列．
（Ⅱ）由，知．由此能求出{an}的通项公式．
（Ⅲ）由，知．设，，，则cn 随着n的增大而减小，=，所以n≥5时，dn+1-dn＜0，dn+1＜dndn随着n的增大而减小，n≥5时，en随着n的增大而减小． 由此能求出实数k的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）证明：，…1分
∵b1=2a1-1+2=-1，…2分（文3分），
∴数列{bn}是等比数列． …4分（文6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即．
∴． …6分（文13分）
（Ⅲ）∵，
∴an-bn≤kn，即．
设，，，
则cn 随着n的增大而减小，…8分
∵=，
∴n≥5时，dn+1-dn＜0，dn+1＜dndn随着n的增大而减小，…10分
则n≥5时，en随着n的增大而减小． …
∵c1=，c2=，c3=，c4=，c5=，
d1=，d2=0，d3=，d4=，d5=，
∴e1=0，e2=，e3=，e4=，e5=．
则e1＜e2＞e3＞e4＞e5＞…．∴e2=最大．
∴实数k的取值范围k≥． …13分．