Question

（文科做）已知点A₁（2，0），A₂（1，t），A₃（0，b），A₄（-1，t），A₅（-2，0），其中t＞0，b为正常数．
（1）半径为2的圆C₁经过A_i（i=1，2，…，5）这五个点，求b和t的值；
（2）椭圆C₂以F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）为焦点，长轴长是4．若A_iF₁+A_iF₂=4（i=1，2，…，5），试用b表示t；
（3）在（2）中的椭圆C₂中，两线段长的差A₁F₁-A₁F₂，A₂F₁-A₂F₂，…，A₅F₁-A₅F₂构成一个数列{a_n}，求证：对n=1，2，3，4都有a_n+1＜a_n．（本小题解答中用到了椭圆的第一定义与焦半径公式，新教材实验区的学生可不解第三小题，请学习时注意）

Answer

（1）注意到A1（2，0），A5（-2，0），且半径为2的圆C1经过Ai，故线段A1A5就是所求圆的直径，O为圆心，写出圆的标准方程即可
（2）椭圆长轴长是4，即a=2，故可设椭圆方程为，因为AiF1+AiF2=4，由椭圆定义知点A2（1，t）在椭圆上，代入椭圆方程即可用b表示t；
（3）利用焦半径公式，AiF1=exi+a，再利用椭圆定义，即可得AiF1-AiF2=2AiF1-2a=2exi，可见数列{an}的项的大小只与点Ai的横坐标有关，进而易证an+1＜an．
【解析】
（1）∵A1A5=4，则A1A5为⊙C1的直径，∴圆心为A1，A5的中点（0，0）
∴⊙C1的方程是x2+y2=4，
∵A2（1，t），A3（0，b）在圆上，
∴b=2，；
（2）∵椭圆C2以F1（-c，0），F2（c，0）（c＞0）为焦点，长轴长是4，
∴椭圆C2的方程是，将A2（1，t）代入，
得，得；
（3）设Ai的坐标是（xi，yi），∵椭圆C2的左准线为，
∴，则，（其中为椭圆的离心率）
AiF1-AiF2=2AiF1-2a=2exi
由于{xi}递减，则对n=1，2，3，4都有an+1＜an．