Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，P是椭圆C₁上任意一点，设该双曲线C₂：以椭圆C₁的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线C₂在第一象限内的任意一点，且
（1）设的最大值为2c²，求椭圆离心率；
（2）若椭圆离心率时，是否存在λ，总有∠BAF₁=λ∠BF₁A成立．

Answer

（1）设出P点坐标，可知椭圆焦点坐标，进而表示出，把点P坐标代入椭圆方程求得y，代入中求得x2=a2时，最大值为b2，进而推断出b2=2c2，根据a，b和c的关系求得a和c的关系，则离心率可得．
（2）根据离心率可求得a和c的关系，设出双曲线方程，设B（x，y）代入双曲线方程，先看当AB⊥x轴时，可求得x和y进而求得∠BAF1==2∠BF1A；在看x≠2c时．表示出tanBAF1和tan∠BF1A，利用正切的二倍角公式求得tan2∠BF1A和tan2∠BF1A得出tan2∠BF1A=tanBAF1的结论，进而判断出2∠BF1A=∠BAF1成立，最后综合的可得结论．
【解析】
（1）设P（x，y），又F1（-c，0），F2（c，0）
∴=（-c-x，-y），=（c-x，-y）
∴=x2+y2-c2
又，得y2=b2-
∵0≤x2≤a2，
∴=（1-）x2+b2-c2=x2+b2-c2．
x2=a2时，最大值为b2
故b2=2c2，
∴a2=3c2，
∴e==
（2）由椭圆离心率e=，a=2c，b=c得双曲线C2：-=1，A（2c，0）
设B（x，y）（x＞0，y＞0）则-=1
①当AB⊥x轴时，x=2c，y=3c．
∴tan∠BF1A=1，
∴∠BF1A=45°
∴∠BAF1==2∠BF1A．
当x≠2c时．
tanBAF1==，tan∠BF1A=，
∴tan2∠BF1A==
∵y2=3c2（-1）=3（x2-c2）
∴tan2∠BF1A===tanBAF1，

又2∠BF1A与∠BAF1同在（0，）或（，π）内
2∠BF1A=∠BAF1
总2∠BF1A=∠BAF1有成立．