Question

已知函数．
（1）求f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）证明f（x）在（0，1）内单调递减．

Answer

（1）根据分式函数分母不能为零和对数函数真数大于零求解；
（2）由（1）知定义域关于原点对称，再分析f（-x）与f（x）的关系；
（3）先在给定的区间上任取两个变量，且界定其大小，再作差变形，再与零进行比较，关键是变形到位用上条件．
【解析】
（1）⇔-1＜x＜0或0＜x＜1，
故f（x）的定义域为（-1，0）∪（0，1）；
（2）∵，
∴f（x）是奇函数；
（3）设0＜x1＜x2＜1，则
∵0＜x1＜x2＜1，∴x2-x1＞0，x1x2＞0，
（1-x1）（1+x2）=1-x1x2+（x2-x1）＞1-x1x2-（x2-x1）=（1+x1）（1-x2）＞0
∴，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（0，1）内递减．
另【解析】
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0
故f（x）在（0，1）内是减函数．