Question

已知抛物线x²=2py （p＞0），过点M （0，- ）向抛物线引两条切线，A、B为切点，则线段AB的长度是（ ）
A．2p
B．p
C．
D．

Answer

设过M（0，-）与抛物线x2=2py （p＞0）相切的直线l的斜率为k，可求得l的方程为：y=kx-，与抛物线x2=2py （p＞0）联立，整理成关于x的一元二次方程，由△=0可求得k，从而可求得切点A、B的坐标，由两点间的距离公式可求得线段AB的长度．
【解析】
由题意可知，过点M（0，-）与抛物线x2=2py （p＞0）相切的直线l的斜率存在，设为k，则l的方程为：y=kx-，与抛物线方程x2=2py （p＞0）联立，
消掉y得：x2-2pkx+p2=0，
∵直线l与抛物线x2=2py （p＞0）相切，
∴△=4p2k2-4p2=0，解得k=±1；
当k=1时，解得x=p，y=，
∴切点A的坐标为（p，）；
同理可求，当k=-1时，切点B的坐标为（-p，）；
∴|AB|=|p-（-p）|=2p．
故选A．