Question

已知f （x）=2cos² x+2sin xcos x+a （a为常数）．
（1）求f （x）的单调递增区间；
（2）若f （x）在区间[-，]上的最大值与最小值之和为3，求a的值．

Answer

（1）先利用二倍角公式及和角正弦公式化简函数f（x）为一个角一个函数的形式，令2kπ-≤2x+≤2kπ+，求出x的范围写出区间形式即得到f （x）的单调递增区间；
（2）根据x∈[-，]求出整体角的范利用三角函数的单调性求出函数的最值，根据题意列出方程进一步求出a的范围．
【解析】
（1）f （x）=2cos2x+2sin xcosx+a
=2cos2x-1+2sin xcosx+a+1
=2cos2x+sin 2x+a+1
=2sin（2x+）+a+1
令2kπ-≤2x+≤2kπ+，
即kπ-≤x≤kπ+，
∴f （x）的单调递增区间是[kπ-，kπ+]（k∈Z）     （6分）
（2）因为x∈[-，]
所以2x+∈[-，]
所以sin（2x+）≤1，
所以-1≤2sin（2x+）≤2，
所以a≤2sin（2x+）≤a+3，
∴f （x）min+f （x）max=a+a+3=3，
∴a=0．（12分）