Question

已知函数y=f （x）=．
（1）求函数f （x）的图象在x=处的切线方程；
（2）求y=f （x）的最大值．

Answer

（1）先求函数的定义域，然后求出导函数f′（x），求出切点坐标以及f′（）即为切线的斜率，在根据点斜式求出切线方程，化成斜截式即可；
（2）令f′（x）=0得：x=e，然后将定义域（0，+∞）分成两部分，分别研究函数在（0，e）与（e，+∞）上的导数符号，从而得到函数的单调性，从而求出最值．
【解析】
（1）∵f （x）定义域为（0，+∞），∴f′（x）=（2分）
∵f （）=-e，∴切点为（，-e）又∵k=f′（）=2e2．
∴函数y=f （x）在x=处的切线方程为：y+e=2e2（x-），
即y=2e2x-3e．（6分）
（2）令f′（x）=0得：x=e
当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f （x）为增函数；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f （x）为减函数．
∴fmax （x）=f （e）=．（12分）