Question

已知函数f （x）=log_a x （a＞0且a≠1），若数列：2，f （a₁），f （a₂），…，f （a_n），2n+4 （n∈N^﹡）为等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若a=2，b_n=a_n•f （a_n），求数列{b_n}前n项和S_n；
（3）在（2）的条件下对任意的n∈N^﹡，都有b_n＞f ^-1（t），求实数t的取值范围．

Answer

（1）由数列：2，f （a1），f （a2），…，f （an），2n+4 （n∈N﹡）为等差数列．可得出2n+4=2+（n+2-1）d求得：d=2，由此可求出f （an），进而即可求出数列{an}的通项公式an；
（2）若a=2，bn=an•f （an），可先解出bn=an•f （an）=（2n+2）a2n+2=（n+1）•a2n+3，由此通项公式的形式知，可用错位相减法求得数列{bn}前n项和Sn；
（3）在（2）的条件下对任意的n∈N﹡，都有bn＞f -1（t），故可由•4＞1，得出数列是一个递增的数列，由此得出bn的最小值，令最小值大于f -1（t），解此不等式即可得出实数t的取值范围
【解析】
（1）由题意2n+4=2+（n+2-1）d求得：d=2，
所以f （an）=2+（n+1-1）•2=2n+2，求得：an=a2n+2．（4分）
（2）bn=an•f （an）=（2n+2）a2n+2=（n+1）•a2n+3
Sn=2•25+3•27+4•29+…+（n+1）•22n+3，
4Sn=2•27+3•27+4•211+…+（n+1）•22（n+1）+3，
错位相减得：
Sn=（8分）
（3）∵•4＞1，
∴{ bn }为递增数列．bn中的最小项为：b1=2•25=26，f-1（t）=2t，
对任意的n∈N﹡，都有bn＞f -1（t），可得26＞2t，
∴t＜6．（14分）