Question

已知函数f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求f（x）在[1，e]上的最小值．

Answer

（Ⅰ）要证函数在（1，+∞）上是增函数，只需要证明其导数大于0即可；
（Ⅱ）求导函数先研究函数的单调性，确定极值，从而确定函数的最值，分类讨论是解题的关键．
证明：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x2-2lnx，
当x∈（1，+∞）时，，
所以f（x）在（1，+∞）上是增函数．          （5分）
（Ⅱ）【解析】
，
当x∈[1，e]，2x2-a∈[2-a，2e2-a]．
若a≤2，则当x∈[1，e]时，f′（x）≥0，
所以f（x）在[1，e]上是增函数，
又f（1）=1，故函数f（x）在[1，e]上的最小值为1．
若a≥2e2，则当x∈[1，e]时，f′（x）≤0，
所以f（x）在[1，e]上是减函数，
又f（e）=e2-a，所以f（x）在[1，e]上的最小值为e2-a．
若2＜a＜2e2，则当时，f′（x）＜0，此时f（x）是减函数；
当时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．
又，
所以f（x）在[1，e]上的最小值为．
综上可知，当a≤2时，f（x）在[1，e]上的最小值为1；
当2＜a＜2e2时，f（x）在[1，e]上的最小值为；
当a≥2e2时，f（x）在[1，e]上的最小值为e2-a．（13分）