Question

在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点的距离比点P到x轴的距离大，设动点P的轨迹为曲线C，直线l：y=kx+1交曲线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）证明：曲线C在点N处的切线与AB平行；
（Ⅲ）若曲线C上存在关于直线l对称的两点，求k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）动点P到定点的距离与动点P到直线的距离相等．由抛物线定义能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由得x2-kx-1=0．所以x1+x2=k，x1x2=-1．设M（x，y），则．因为MN⊥x轴，所以N点的横坐标为．由此能证明曲线C在点N处的切线与AB平行．
（Ⅲ）设直线l的垂线为l′：．代入y=x2，得．若存在两点D（x3，y3），E（x4，y4）关于直线l对称，则，．由此入手能求出k的取值范围．
（Ⅰ）【解析】
由已知，动点P到定点的距离与动点P到直线的距离相等．
由抛物线定义可知，动点P的轨迹为以为焦点，
直线为准线的抛物线．
所以曲线C的方程为y=x2．         （3分）
（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由得x2-kx-1=0．
所以x1+x2=k，x1x2=-1．
设M（x，y），则．
因为MN⊥x轴，
所以N点的横坐标为．
由y=x2，可得y′=2x
所以当时，y′=k．
所以曲线C在点N处的切线斜率为k，
与直线AB平行．（8分）
（Ⅲ）【解析】
由已知，k≠0．
设直线l的垂线为l′：．
代入y=x2，可得（*）
若存在两点D（x3，y3），E（x4，y4）关于直线l对称，
则，
又在l上，
所以，．
由方程（*）有两个不等实根
所以，即
所以，
解得或．（13分）