Question

已知{a_n}是正数组成的数列，a₁=1，且点在函数y=x²+1的图象上．数列{b_n}满足b₁=0，b_n+1=b_n+3^a_n（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）若c_n=a_nb_ncosnπ（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）由题设条件知an+1=an+1，根据等差数列的定义：{an}是首项为1，公差为1的等差数列，从而an=n，根据bn+1=bn+3an（n∈N*），可得bn+1-bn=3n（n∈N*）．累加可求和，从而得{bn}的通项公式；
 （II）根据cn=anbncosnπ（n∈N*），可得，再分n为偶数，奇数分别求和即可
【解析】
（Ⅰ）因为点（ ）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上
所以an+1=an+1
根据等差数列的定义：{an}是首项为1，公差为1的等差数列
所以an=n
∵bn+1=bn+3an（n∈N*）．
∴bn+1-bn=3n（n∈N*）．
∴
（II）∵cn=anbncosnπ（n∈N*），
∴
当n为偶数时，Sn=（-3+2•32+…+n•3n）+3[1-2+3-4+…+（n-1）-n]
设Tn=（-3+2•32+…+n•3n），则3Tn=-32+2•33+…+n•3n+1
∴
∴
当n为奇数时，
∴