Question

已知正三棱锥P-ABC侧棱长为1，且PA、PB、PC两两垂直，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线，则这条封闭曲线的长度为    ．

Answer

设以顶点A为球心，为半径作一个球，球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线是EFNM，如图所示．正确分析与各面的交线结合弧长公式即可求出答案．
【解析】
设以顶点A为球心，为半径作一个球，球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线是EFNM，如图所示．
则AE=AF=AM=AN=，
在直角三角形APE中，cos∠PAE=，∴∠PAE=，
∴=（）×=，
同理=；
在直角三角形PBC中，∠BPC=，PE=PF=，
∴=×=，
在等边三角形ABC中，MN=AM=，∠MAN=，
∴==．
则这条封闭曲线的长度为 =．
故答案为：．