Question

某大学对参加了该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，决定考核有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．
（I）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（II）求在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为整数的概率．

Answer

（I）根据题意，分别记“甲考核为优秀”，“乙考核为优秀”，“丙考核为优秀”，“志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀”为A，B，C，E，根据相互独立事件与对立事件的定义，可得事件A，B，C相互独立，与事件E是对立事件，根据相互独立事件乘法公式及对立事件概率减法公式，可得在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（Ⅱ）记“次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为整数”为事件F，分析可得F等价于三名志愿者的优秀人数为1或3个；即P（F）=P（A••）+P（•B•）+P（••C）+P（A•B•C），代入数据计算可得答案．
【解析】
（I）记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，
“丙考核为优秀”为事件C，“志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀”为事件E，
则事件A，B，C相互独立，与事件E是对立事件
则P（E）=1-P（）=1-P（）•P（）•P（）=1-=
（Ⅱ）记“次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为整数”为事件F，即三名志愿者的优秀人数为1或3个；
P（F）=P（A••）+P（•B•）+P（••C）+P（A•B•C）==．