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如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF,BC⊥CF,,EF...

如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF,BC⊥CF,manfen5.com 满分网,EF=2,BE=3,CF=4.
(Ⅰ)求证:EF⊥平面DCE;
(Ⅱ)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60°.

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(I)由已知中在△BCE中,BC⊥CF,BC=AD=,BE=3,由勾股定理,我们易得EF⊥CE,由矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,可得DC⊥平面EFCB,则DC⊥EF,进而由线面垂直的判定定理得到答案. (II)方法一(几何法)过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H,连接AH,由三垂线定理及二面角的平面角的定义,易得∠AHB为二面角A-EF-C的平面角,解Rt△CEF,即可求出二面角A-EF-C的大小为60°时,AB的长. 方法二(向量法)以点C为坐标原点,以CB,CF和CD分别作为x轴,y轴和z轴,建立空间直角坐标系C-xyz,设AB=a,分别求出平面AEF的法向量和平面EFCB的法向量,代入向量夹角公式,由二面角A-EF-C的大小为60°,构造关于a的方程,解方程求出a值. 证明:(Ⅰ)在△BCE中,BC⊥CF,BC=AD=,BE=3,∴EC=, ∵在△FCE中,CF2=EF2+CE2,∴EF⊥CE(3分)由已知条件知,DC⊥平面EFCB, ∴DC⊥EF,又DC与EC相交于C,(5分)∴EF⊥平面DCE(6分) 【解析】 (Ⅱ) 方法一:过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H,连接AH. 由平面ABCD⊥平面BEFC,平面ABCD∩平面BEFC=BC, AB⊥BC,得AB⊥平面BEFC,从而AH⊥EF. 所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角.(8分) 在Rt△CEF中,因为EF=2,CF=4.EC= ∴∠CEF=60°,由CE∥BH,得∠BHE=60°,又在Rt△BHE中,BE=3, ∴(10分) 由二面角A-EF-C的平面角∠AHB=60°,在Rt△AHB中,解得, 所以当时,二面角A-EF-C的大小为60°(13分) 方法二:如图,以点C为坐标原点,以CB,CF和CD分别作为x轴,y轴和z轴,建立空间直角坐标系C-xyz.(7分) 设AB=a(a>0),则C(0,0,0),A(,0,a),B(,0,0),E(,3,0),F(0,4,0). 从而,(9分) 设平面AEF的法向量为,由得,,取x=1, 则,即,(11分) 不妨设平面EFCB的法向量为, 由条件,得 解得.所以当时,二面角A-EF-C的大小为60°.(13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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