Question

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，，EF=2，BE=3，CF=4．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面DCE；
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°．

Answer

（I）由已知中在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，由勾股定理，我们易得EF⊥CE，由矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，可得DC⊥平面EFCB，则DC⊥EF，进而由线面垂直的判定定理得到答案．
（II）方法一（几何法）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH，由三垂线定理及二面角的平面角的定义，易得∠AHB为二面角A-EF-C的平面角，解Rt△CEF，即可求出二面角A-EF-C的大小为60°时，AB的长．
方法二（向量法）以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，设AB=a，分别求出平面AEF的法向量和平面EFCB的法向量，代入向量夹角公式，由二面角A-EF-C的大小为60°，构造关于a的方程，解方程求出a值．
证明：（Ⅰ）在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，∴EC=，
∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2，∴EF⊥CE（3分）由已知条件知，DC⊥平面EFCB，
∴DC⊥EF，又DC与EC相交于C，（5分）∴EF⊥平面DCE（6分）
【解析】
（Ⅱ）
方法一：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH．
由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC，
AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF．
所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角．（8分）
在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4．EC=
∴∠CEF=60°，由CE∥BH，得∠BHE=60°，又在Rt△BHE中，BE=3，
∴（10分）
由二面角A-EF-C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得，
所以当时，二面角A-EF-C的大小为60°（13分）
方法二：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz．（7分）
设AB=a（a＞0），则C（0，0，0），A（，0，a），B（，0，0），E（，3，0），F（0，4，0）．
从而，（9分）
设平面AEF的法向量为，由得，，取x=1，
则，即，（11分）
不妨设平面EFCB的法向量为，
由条件，得
解得．所以当时，二面角A-EF-C的大小为60°．（13分）