Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点为．（1）求抛物线C的方程； （2）已知直线 与抛物线C交于A、B 两点，且|FA|=2|FB|，求k 的值； （3）设点P 是抛物线C上的动点，点R、N 在y 轴上，圆（x-1）²+y²=1 内切于△PRN，求△PRN 的面积最小值．

Answer

（1）设抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），焦点为 ． ，p=1，从而可求抛物线C的方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由|FA|=2|FB|，得 ，将直线与抛物线方程联立可得 ，从而问题得解．
（3）设P（x，y），R（0，b），N（0，c），且b＞c，则直线PR的方程可得，由题设知，圆心（1，0）到直线PR的距离为1，把x，y代入化简整理可得（x-2）b2+2yb-x=0，同理可得（x-2）c2+2yc-x=0，进而可知b，c为方程（x-2）x2+2yx-x=0的两根，根据求根公式，可求得b-c，进而可得△PRN的面积的表达式，根据均值不等式可知当x=4时面积最小，进而求得点P的坐标．
【解析】
（1）设抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），∵，∴p=1，∴抛物线C的方程为y2=2x
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由|FA|=2|FB|，得 ，又 ，∴，∴，∴
∵△=4-4k2＞0，∴-1＜k＜1，∴，
（3）设P（x，y），R（0，b），N（0，c），且b＞c，故直线PR的方程为（y-b）x-xy+xb=0．
由题设知，圆心（1，0）到直线PR的距离为1，即 ，注意到x＞2，化简上式，得（x-2）b2+2yb-x=0，同理可得（x-2）c2+2yc-x=0，由上可知，b，c为（x-2）x2+2yx-x=0的两根，根据求根公式，可得 ，故△PRN的面积为
，等号当且仅当x=4时成立．此时点P的坐标为 或 ，
综上所述，当点P的坐标为 或 时，△PRN的面积取最小值8．