Question

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，M为DD₁的中点，O为AC的中点．求证：
（1）BD₁∥平面ACM
（2）B₁O⊥平面ACM．

Answer

（1）连接BD，则BD与AC的交点为O，连接OM，可以证出OM是三角形BDD1的中位线，得到OM∥BD1，最后用直线与平面平行的判定定理可以证出BD1∥平面ACM；
（2）首先在矩形BB1D1D中，利用直角三角形的正切定义得到∠MOD=∠BB1O，从而证出MO⊥B1O，然后利用直线AC与平面BB1D1D证出AC⊥B1O，最后用直线与平面垂直的判定定理，可得到B1O⊥平面ACM．
【解析】
（1）连接BD，则BD与AC的交点为O
∵四边形ABCD是正方形
∴O为BD中点
连接OM，在△BDD1中，O、M分别是BD、DD1的中点
∴OM∥BD1
又∵OM⊂平面AC，MB⊈平面DACM
∴BD1∥平面ACM
（2）连接B1D1，在矩形BB1D1D中，BD=
∴Rt△MDO中，MD==1
∴tan∠MOD=
同理，Rt△BOB1中，tan
∴锐角∠MOD=∠BB1O=90°-∠B1OB⇒∠MOD+∠B1OB=90°
∴∠MOB1=90°⇒MO⊥B1O
∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD
∴AC⊥BB1
∵AC⊥BD，BD∩BB1=B
∴AC⊥平面BB1D1D，结合B1O⊂平面BB1D1D
∴AC⊥B1O
∵MO∩AC=O
∴B1O⊥平面ACM．