Question

已知函数f（x）=，（a∈R）
（1）若函数y=f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，在区间（0，1）上单调递减，求实数a的值；
（2）若a＞1，且函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先求导数，通过导数为0，根据函数的极值点，求出a的值即可．
（2）通过导数为0，结合a的范围，与函数的单调性以及函数的最大值，推出，进而求出变量a的范围．
【解析】
f′（x）=x2-2（a+1）x+4a，
（1）因为函数y=f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，在区间（0，1）上单调递减，
所以f′（0）=4a=0，得a=0，
又当a=0时，f′（x）=x2-2x，所以当x＜0时 f′（x）＞0，f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在区间（0，1）上单调递减．
综上当a=0时，f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，f（x）在区间（0，1）上单调递减．
（2）令f′（x）=0，得x1=2，x2=2a，因为a＞1，所以x1＜x2，
当x变化时，f（x）的值的变化情况如下：
注意到x∈[0，4]且f（2）=4a-，f（4）=．
因为f（x）在[0，4]上的最大值为．
若2a≥4，即a≥2时，f（x）在[0，4]上的最大值为：f（2）=4a-≥．不合题意．
所以，
即解得．