Question

如图，椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点是F（-，0），离心率e=，过点A（0，-2）且不与y轴重合的直线l与椭圆C相交于不同的两点P、Q
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点F到直线l的距离为2，求直线l的方程；
（3）问在y轴上是否存在一个定点B，使得直线PB与椭圆C的另一个交点R是点Q关于y轴的对称点？若存在，求出定点B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由，，能求出椭圆方程．
（2）设直线l的方程为y=kx-2，由，得（1+4k2）x2-16kx+12=0，由△=（16k）2-48（1+4k2）＞0，得或．设p（x1，y1），Q（x2，y2），则，，由已知得，由此能求出直线l的方程．
（3）假设y轴上存在定点B，使R与点Q关于y轴对称，则R（-x2，y2），所以直线PR的方程为，令x=0，得y=-，所以存在y轴上定点B，使得直线PB与椭圆C的另一个交点R是点Q关于y轴的对称点．
【解析】
（1）∵，，
∴a=2，b=1，
∴椭圆方程为．
（2）设直线l的方程为y=kx-2，
由，
得（1+4k2）x2-16kx+12=0，①
∵△=（16k）2-48（1+4k2）＞0，得或．②
设p（x1，y1），Q（x2，y2），
则，，
由已知得，，解得k=0，或，
由②得，，
∴直线l的方程是．
（3）假设y轴上存在定点B，使R与点Q关于y轴对称，则R（-x2，y2），
∴直线PR的方程为，
令x=0，则+y1
=
=
=
=
=
=-．
∴存在y轴上定点B，
使得直线PB与椭圆C的另一个交点R是点Q关于y轴的对称点．