满分5 > 高中数学试题 >

对于正整数a,b,存在唯一一对整数q和r,使得a=bq+r,0≤r<b.特别地,...

对于正整数a,b,存在唯一一对整数q和r,使得a=bq+r,0≤r<b.特别地,当r=0时,称b能整除a,记作b|a,已知A={1,2,3,…,23}.
(Ⅰ)存在q∈A,使得2011=91q+r(0≤r<91),试求q,r的值;
(Ⅱ)求证:不存在这样的函数f:A→{1,2,3},使得对任意的整数x1,x2∈A,若|x1-x2|∈{1,2,3},则f(x1)≠f(x2);
(Ⅲ)若B⊆A,card(B)=12(card(B)指集合B 中的元素的个数),且存在a,b∈B,b<a,b|a,则称B为“和谐集”.求最大的m∈A,使含m的集合A的有12个元素的任意子集为“和谐集”,并说明理由.
(Ⅰ)将2011除以91,便可求相应的商与余数; (Ⅱ)假设存在这样的函数,若f(1)=a,a∈{1,2,3},f(2)=b,b∈{1,2,3},则(3)≠f(1),f(3)≠f(2),令f(3)=c,c∈{1,2,3},这里c≠a,且c≠b,同理有,f(4)≠b,且f(4)≠c,从而引出矛盾; (Ⅲ)先证明m=8,9,10,11,12时,不存在含m的集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”.再证明:含7的任意集合A的有12个元素的子集为“和谐集”. 【解析】 (Ⅰ)因为2011=91×22+9,所以q=22,r=9.…(2分) (Ⅱ)证明:假设存在这样的函数f:A→{1,2,3},使得对任意的整数x,y,若|x-y|∈{1,2,3},则f(x)≠f(y). 设f(1)=a,a∈{1,2,3},f(2)=b,b∈{1,2,3},由已知a≠b,由于|3-1|=2,|3-2|=1,所以f(3)≠f(1),f(3)≠f(2). 不妨令f(3)=c,c∈{1,2,3},这里c≠a,且c≠b,同理,f(4)≠b,且f(4)≠c, 因为{1,2,3}只有三个元素,所以f(4)=a.即f(1)=f(4),但是|4-1|=3,与已知矛盾. 因此假设不成立,即不存在这样的函数f:A→{1,2,3},使得对任意的整数x,y,若|x-y|∈{1,2,3},则f(x)≠f(y).…(8分) (Ⅲ)当m=8时,记M={7+i|i=1,2,…,16},N={2(7+i)|i=1,2,3,4}记P=CMN,则card(P)=12,显然对任意1≤i<j≤16,不存在n≥3,使得7+j=n(7+i)成立.故P是非“和谐集”,此时P={8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,21,23}.同样的,当m=9,10,11,12时,存在含m的集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”.因此m≤7.…(10分) 下面证明:含7的任意集合A的有12个元素的子集为“和谐集”. 设B={a1,a2,…,a11,7},若1,14,21中之一为集合B的元素,显然为“和谐集”. 现考虑1,14,21都不属于集合B,构造集合B1={2,4,8,16},B2={3,6,12},B3={5,10,20},B4={9,18},B5={11,22},B'={13,15,17,19,23}. 以上B1,B2,B3,B4,B5每个集合中的元素都是倍数关系.考虑B'⊆B的情况,也即B'中5个元素全都是B的元素,B中剩下6个元素必须从B1,B2,B3,B4,B5这5个集合中选取6个元素,那么至少有一个集合有两个元素被选,即集合B中至少有两个元素存在倍数关系. 综上所述,含7的任意集合A的有12个元素的子集B为“和谐集”,即m的最大值为7.…(14分)
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
已知椭圆manfen5.com 满分网经过点A(2,1),离心率为manfen5.com 满分网.过点B(3,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求manfen5.com 满分网的取值范围;
(Ⅲ)设直线AM和直线AN的斜率分别为kAM和kAN,求证:kAM+kAN为定值.
查看答案
设函数f(x)=lnx+(x-a)2,a∈R.
(Ⅰ)若a=0,求函数f(x)在[1,e]上的最小值;
(Ⅱ)若函数f(x)在manfen5.com 满分网上存在单调递增区间,试求实数a的取值范围;
(Ⅲ)求函数f(x)的极值点.
查看答案
在长方形AA1B1B中,AB=2AA1=4,C,C1分别是AB,A1B1的中点(如图1).将此长方形沿CC1对折,使二面角A1-CC1-B为直二面角,D,E分别是A1B1,CC1的中点(如图2).manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求证:C1D∥平面A1BE;
(Ⅱ)求证:平面A1BE⊥平面AA1B1B;
(Ⅲ)求直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值.
查看答案
为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康,要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为manfen5.com 满分网,第二轮检测不合格的概率为manfen5.com 满分网,两轮检测是否合格相互没有影响.
(Ⅰ)求该产品不能销售的概率;
(Ⅱ)如果产品可以销售,则每件产品可获利40元;如果产品不能销售,则每件产品亏损80元(即获利-80元).已知一箱中有产品4件,记一箱产品获利X元,求X的分布列,并求出均值E(X).
查看答案
已知函数manfen5.com 满分网(x∈R).
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)若manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,求cos2x的值.
查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.