Question

如图，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1AF⊥BF，O为AB的中点，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直．
（1）求证：AF⊥平面CBF；
（2）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；
（3）求三棱锥C-BEF的体积．

Answer

（1）要证线与面垂直，需先证明直线AF垂直于平面内的两条相交直线，因为矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，所以BC垂直于平面ABEF，从而AF垂直于BC，依题意，AF垂直于BF，从而命题得证
（2）取DF的中点为N，由三角形中位线定理，MN平行CD且等于CD的一半，而OA也是如此，从而MN平行且等于OA，四边形MNAO为平行四边形，所以OM平行于AN，由线面平行的判定定理即可得证OM平行于平面DAF
（3）先计算底面三角形BEF的面积，在等腰梯形ABEF中，可得此三角形的高为，底EF为1，再计算三棱锥C-BEF的高，即为CB，最后由三棱锥体积计算公式计算即可
【解析】
（1）∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB
∴CB⊥平面ABEF，∵AF⊂平面ABEF，
∴CB⊥AF
又AF⊥BF，且BF∩BC=B，BF，BC⊂平面CBF，
∴AF⊥平面CBF
（2）设DF的中点为N，
∵FC的中点为M，
∴MN∥CD，MN=CD
∵四边形ABCD为矩形
∴AO∥CD，AO=CD
∴MN∥OA，MN=OA
∴四边形MNAO为平行四边形，
∴OM∥AN
又AN⊂平面DAF，OM⊄平面ADF，
∴OM∥平面ADF
（3）∵AF=1，AF⊥BF，AB=2
∴∠FAB=60°
过点E作EH⊥AB于H，则∠EBH=60°，
∴EH=，EF=AB-2HB=1，
故
∵CB⊥平面ABEF
∴三棱锥C-BEF的高为CB=1
∴