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已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),...

已知椭圆manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足|manfen5.com 满分网|=2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网=0,|manfen5.com 满分网|≠0.
(Ⅰ)设x为点P的横坐标,证明|manfen5.com 满分网|=a+manfen5.com 满分网x;
(Ⅱ)求点T的轨迹C的方程;
(Ⅲ)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=b2.若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由.

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(Ⅰ)证法一:设点P的坐标为(x,y), 由题设条件知||===, 由此能够推导出||=a+x. 证法二:设点P的坐标为(x,y).记||=r1,||=r2, 由r1+r2=2a,r12+r22=4cx,能够推导出||=r1=a+x. 证法三:设点P的坐标为(x,y).椭圆的左准线方程为a+x=0, 由椭圆第二定义得=,由此入手推导出||=a+x. (Ⅱ)解法一:设点T的坐标为(x,y).当||=0时,点(a,0)和点(-a,0)在轨迹上. 当|时,由题设条件知T为线段F2Q的中点. 在△QF1F2中,,由此求出点T的轨迹C的方程. 解法二:在推导出T为线段F2Q的中点的基础上,设点Q的坐标为(x',y'), 由中点坐标公式和||=2a推导出点T的轨迹C的方程. (Ⅲ)解法一:C上存在点M(x,y)使S=b2的充要条件是 由③得|y|≤a,由④得|y|≤.再分类讨论进行求解. 解法二:C上存在点M(x,y)使S=b2的充要条件是 由④得|y|≤.上式代入③得x2=a2-=(a-)(a+)≥0.再分类讨论进行求解. (Ⅰ)证法一:设点P的坐标为(x,y). 由P(x,y)在椭圆上,得||=== 由x≥a,知a+x≥-c+a>0,所以||=a+x 证法二:设点P的坐标为(x,y).记||=r1,||=r2, 则r1=,r2=. 由r1+r2=2a,r12+r22=4cx,得||=r1=a+x. 证法三:设点P的坐标为(x,y).椭圆的左准线方程为a+x=0 由椭圆第二定义得=,即||=|x+|=|a+x|. 由x≥-a,知a+x≥-c+a>0,所以||=a+x. (Ⅱ)解法一:设点T的坐标为(x,y). 当||=0时,点(a,0)和点(-a,0)在轨迹上. 当|时,由,得. 又,所以T为线段F2Q的中点. 在△QF1F2中,,所以有x2+y2=a2. 综上所述,点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2. 解法二:设点T的坐标为(x,y).当||=0时,点(a,0)和点(-a,0)在轨迹上. 当||≠0且||≠0,时,由•=0,得⊥. 又,||,所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为(x',y'),则 因此① 由||=2a得(x'+c)2+y'2=4a2.② 将①代入②,可得x2+y2=a2. 综上所述,点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2. (Ⅲ)解法一:C上存在点M(x,y)使S=b2的充要条件是 由③得|y|≤a,由④得|y|≤.所以,当a≥时,存在点M,使S=b2; 当a<时,不存在满足条件的点M. 当a≥时,=(-c-x,-y),=(c-x,-y), 由•=x2-c2+y2=a2-c2=b2,•=||•||=cos∠F1MF2, S=•sin∠F1MF2=b2,得tan∠F1MF2=2. 解法二:C上存在点M(x,y)使S=b2的充要条件是 由④得|y|≤.上式代入③得x2=a2-=(a-)(a+)≥0 于是,当a≥时,存在点M,使S=b2; 当a<时,不存在满足条件的点M. 当a≥时,记k1=kF1M=,k2=kF2M=, 由|F1F2|<2a,知∠F1MF2<90°,所以tan∠F1MF2=||=2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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