Question

对函数Φ（x），定义f_k（x）=Φ（x-mk）+nk（其中x∈（mk，m+mk]，k∈Z，m＞0，n＞0，且m、n为常数）为Φ（x）的第k阶阶梯函数，m叫做阶宽，n叫做阶高，当阶宽为2，阶高为3时，若Φ（x）=2^x．
（1）求f（x）和f_k（x）的解析式；
（2）求证：Φ（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线．

Answer

（1）把k=0代入定义fk（x）=Φ（x-mk）+nk，可得f（x）=Φ（x），由题意可得 fk（x）=Φ（x-2k）+3k 的解析式．
（2）利用 fk（x）=Φ（x-2k）+3k 是单调增函数，求出Φ（x）的第k阶阶梯函数图象的最高点的坐标，
再求出第k+1阶阶梯函数图象的最高点的坐标，计算这两个最高点的连线的斜率是个定值，从而得出
 Φ（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线．
【解析】
（1）f（x）=Φ（x）=2x ，x∈（0，2]，fk（x）=Φ（x-2k）+3k=2x-2k+3k，x∈（2k，2k+2]，k∈Z，
 （2）∵fk（x）=Φ（x-2k）+3k=2x-2k+3k，x∈（2k，2k+2]，k∈Z  是增函数，
∴Φ（x）的第k阶阶梯函数图象的最高点为PK（2k，3k+4），
第k+1阶阶梯函数图象的最高点为PK+1（2k+4，3k+7），
∴过 Pk、pk+1这两点的直线斜率为 K==，
同理可证 过 PK+1、PK+2  这两点的直线斜率也为 ，
∴Φ（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线．