Question

设直线l（斜率存在）交抛物线y²=2px（p＞0，且p是常数）于两个不同点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O为坐标原点，且满足=x₁x₂+2（y₁+y₂）．
（1）若y₁+y₂=-1，求直线l的斜率与p之间的关系；
（2）求证：直线l过定点；
（3）设（1）中的定点为P，若点M在射线PA上，满足，求点M的轨迹方程．

Answer

（1）设直线l的方程为y=kx+b，由，得ky2-2py+2pb=0，再由根的判别式和根与系数的关系，可知直线l的斜率与p之间的关系．
（2）由题设知，y1y2=2（y1+y2）．则，得b=2．所以直线l的方程为y=kx+2．由此知直线l过定点（0，2）．
（3）分别过点A、M、B向y轴作垂线，垂足分别为A‘，M’，B‘，设M（x，y），由，可得
．所以．由此入手可求出点M的轨迹方程．
【解析】
（1）设直线l的方程为y=kx+b，由，得ky2-2py+2pb=0，
由题知k≠0，△=4p2-8kpb＞0，且．
又y1+y2=-1，∴k=-2p．
∴直线l的斜率k与p之间的关系为k=-p．

（2）由（1），有，
又+2（y1+y2），
∴y1y2=2（y1+y2）．则，得b=2．
∴直线l的方程为y=kx+2．
∴直线l过定点（0，2）．
（3）分别过点A、M、B向y轴作垂线，垂足分别为A′，M′，B′，
设M（x，y），由，
可得．
∴，∴．
∴==，
∴，∴，
∵△=4p2-16kp＞0，∴1＜y＜3，y≠2．
∵y=kx+2，∴．
∴点M的轨迹方程为．