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在长方形AA1B1B中,AB=2AA1=4,C,C1分别是AB,A1B1的中点(...

在长方形AA1B1B中,AB=2AA1=4,C,C1分别是AB,A1B1的中点(如图1).将此长方形沿CC1对折,使二面角A1-CC1-B为直二面角,D,E分别是A1B1,CC1的中点(如图2).manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求证:C1D∥平面A1BE;
(Ⅱ)求证:平面A1BE⊥平面AA1B1B;
(Ⅲ)求直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值.
(Ⅰ)根据C,C1分别是AB,A1B1的中点,则CC1⊥BC,CC1⊥AC,∠ACB是二面角A1-CC1-B的平面角,从而BC⊥AC,所以CA,CB,CC1两两垂直,以点C为原点,分别以CA,CB,CC1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,然后求出平面A1BE的法向量为n和向量,根据向量与平面A1BE的法向量垂直可知C1D∥平面A1BE. (Ⅱ)先求出平面AA1B1B的法向量为m,根据平面A1BE的法向量为n与法向量为m垂直,从而证得平面A1BE⊥平面AA1B1B. (Ⅲ)先求出向量,设直线BC1与平面A1BE所成角为θ,则,从而求出所求. (Ⅰ)证明:由已知,将长方形AA1B1B沿CC1对折后,二面角A1-CC1-B为直二面角,因为在长方形AA1B1B中,C,C1分别是AB,A1B1的中点,所以CC1⊥BC,CC1⊥AC.即∠ACB是二面角A1-CC1-B的平面角. 所以∠ACB=90°.所以BC⊥AC. 所以CA,CB,CC1两两垂直. 以点C为原点,分别以CA,CB,CC1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.…(1分) 因为AB=2AA1=4,且D,E分别是A1B1,CC1的中点, 所以C1(0,0,2),D(1,1,2),A1(2,0,2),B(0,2,0),E(0,0,1).…(2分) 所以,. 设平面A1BE的法向量为n=(x,y,z), 所以所以 令y=1,则z=2,x=-1. 所以n=(-1,1,2).…(3分) 又因为. 所以. 又因为C1D⊄平面A1BE, 所以C1D∥平面A1BE.…(4分) (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知A(2,0,0),A1(2,0,2),B(0,2,0),,. 设平面AA1B1B的法向量为m=(x,y,z), 所以所以 令y=1,则x=1,z=0,所以m=(1,1,0).…(6分) 由(Ⅰ)知,平面A1BE的法向量为n=(-1,1,2). 所以m•n=(1,1,0)•(-1,1,2)=0. 所以m⊥n.所以平面A1BE⊥平面AA1B1B.…(8分) (Ⅲ)【解析】 由(Ⅰ)知,B(0,2,0),C1(0,0,2).所以. 又由(Ⅰ)知,平面A1BE的法向量为n=(-1,1,2).…(10分) 设直线BC1与平面A1BE所成角为θ,则. 所以直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值为.…(13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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