Question

设函数f（x）=lnx+（x-a）²，a∈R．
（Ⅰ）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求函数f（x）的极值点．

Answer

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．因为，所以f（x）在[1，e]上是增函数，由此能求出f（x）在[1，e]上的最小值．
（Ⅱ）法一：，设g（x）=2x2-2ax+1，则在区间上存在子区间使得不等式g（x）＞0成立．由抛物线g（x）=2x2-2ax+1开口向上，所以只要g（2）＞0，或即可．由此能求出实数a的取值范围．
法二：，则在区间[，2]上存在子区间使不等式2x2-2ax+1＞0成立．因为x＞0，所以．设g（x）=2x+，所以2a小于函数g（x）在区间[，2]的最大值．由此能求出实数a的取值范围．
（Ⅲ）因为，令h（x）=2x2-2ax+1．由a≤0，a＞0及判别式△的符号分别进行讨论，求解函数f（x）的极值点．
【解析】
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）
因为，
所以f（x）在[1，e]上是增函数，
当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1．
所以f（x）在[1，e]上的最小值为1．…（3分）
（Ⅱ）解法一：
设g（x）=2x2-2ax+1，…（4分）
依题意，在区间上存在子区间使得不等式g（x）＞0成立．…（5分）
注意到抛物线g（x）=2x2-2ax+1开口向上，
所以只要g（2）＞0，或即可．…（6分）
由g（2）＞0，即8-4a+1＞0，得，
由，即，得，
所以，
所以实数a的取值范围是．…（8分）
解法二：，…（4分）
依题意得，在区间[，2]上存在子区间使不等式2x2-2ax+1＞0成立．
又因为x＞0，所以．…（5分）
设g（x）=2x+，所以2a小于函数g（x）在区间[，2]的最大值．
又因为，
由，解得；
由，解得．
所以函数g（x）在区间上递增，在区间上递减．
所以函数g（x）在，或x=2处取得最大值．
又，，所以，
所以实数a的取值范围是．…（8分）
（Ⅲ）因为，令h（x）=2x2-2ax+1
①显然，当a≤0时，在（0，+∞）上h（x）＞0恒成立，
这时f'（x）＞0，
此时，函数f（x）没有极值点；                     …（9分）
②当a＞0时，
（ⅰ）当△≤0，即时，
在（0，+∞）上h（x）≥0恒成立，
这时f'（x）≥0，
此时，函数f（x）没有极值点；        …（10分）
（ⅱ）当△＞0，即时，
易知，当时，
h（x）＜0，这时f'（x）＜0；
当或时，
h（x）＞0，这时f'（x）＞0；
所以，当时，是函数f（x）的极大值点；
是函数f（x）的极小值点．…（12分）
综上，当时，函数f（x）没有极值点；
当时，是函数f（x）的极大值点；
是函数f（x）的极小值点．…（13分）