Question

已知椭圆经过点A（2，1），离心率为．过点B（3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求的取值范围；
（Ⅲ）设直线AM和直线AN的斜率分别为k_AM和k_AN，求证：k_AM+k_AN为定值．

Answer

（Ⅰ）根据离心率和（2，1）点代入椭圆方程可求得a和c，进而求得b，方程可得．
（Ⅱ）由题意显然直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x-3），联立直线与椭圆的方程，消去y得（1+2k2）x2-12k2x+18k2-6=0．因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，所以△＞0，可得-1＜k＜1．再用坐标表示出即可求的取值范围．
（Ⅲ）由（Ⅱ）用坐标表示出kAM+kAN化简即可．
【解析】
（Ⅰ）由题意得，解得，．故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）由题意显然直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x-3），
由得（1+2k2）x2-12k2x+18k2-6=0．
因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，所以△=144k4-4（1+2k2）（18k2-6）=24（1-k2）＞0，解得-1＜k＜1．
设M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，，
y1=k（x1-3），y2=k（x2-3）．
所以
=（1+k2）[x1x2-3（x1+x2）+9]==．
因为-1＜k＜1，所以．
故的取值范围为（2，3]．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得kAM+kAN=
==
==．
所以kAM+kAN为定值-2．