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如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为O,PO⊥平面ABCD,AO=BO=...

如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为O,PO⊥平面ABCD,AO=BO=DO=1,CO=PO=2,E是线段PA上的点,AE:AP=1:3.
(1)求证:OE∥平面PBC;
(2)求二面角D-PB-C的大小.

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对于(1),要证明OE∥平面PBC,只需证明OE与平面PBC内的一条直线平行即可,而AO=BO=DO=1,CO=PO=2, AE:AP=1:3,可以确定O是AC的三等分点,从而可以证明OE∥PC,从而得证; 对于(2),由AC⊥BD,垂足为O,PO⊥平面ABCD,可以得到OA、OB、OC三条线两两垂直,且二面角D-PB-C的平面角为锐角, 因而可以建立空间直角坐标系,将求二面角问题转化为求平面PBC与平面PBD的法向量的夹角. 证明:(1)由题意AE:AP=1:3, 又AO=1,AC=3, ∴AO:AC=1:3, 三角形PAC中,有OE∥PC, 又OE⊄平面PBC,PC⊂平面PBC, 由线面平行的判定定理得:OE∥平面PBC; (2)【解析】 如图,建立空间直角坐标系O-xyz,由已知可得个点坐标:B(1,0,0),C(0,2,0), P(0,0,2),D(-1,0,0)∴=(1,0,-2),=(0,,2,-2), 设平面PBC的一个法向量为:=(x,y,z),则解得:, 取x=2,y=1,z=1,得:=(2,1,1); 取平面PBD的一个法向量为═(0,1,0),则, 又因为二面角D-PB-C的平面角为锐角,所以二面角D-PB-C的大小为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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