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对函数Φ(x),定义fk(x)=Φ(x-mk)+nk(其中x∈(mk,m+mk]...

对函数Φ(x),定义fk(x)=Φ(x-mk)+nk(其中x∈(mk,m+mk],k∈Z,m>0,n>0,且m、n为常数)为Φ(x)的第k阶阶梯函数,m叫做阶宽,n叫做阶高,已知阶宽为2,阶高为3.
(1)当Φ(x)=2x
①求f(x)和fk(x)的解析式;
②求证:Φ(x)的各阶阶梯函数图象的最高点共线;
(2)若Φ(x)=x2,则是否存在正整数k,使得不等式fk(x)<(1-3k)x+4k2+3k-1有解?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
(1)利用题目中给出的阶梯函数的定义解决该类问题.关键要理解阶梯函数的定义以及一些字母和符号的含义.为求解函数解析式做准备,证明共线只需说明各点连线的斜率相等; (2)掌握探究性问题的解决方法,要假设存在正整数,寻找相应的关系式进行求解或说明. 【解析】 (1)①f(x)=Φ(x))=2x,x∈(0,2];fk(x)=Φ(x-2k)+3k=2 x-2k+3k,x∈(2k,2k+2],k∈Z. ②∵fk(x)=2 x-2k+3k,x∈(2k,2k+2],k∈Z是增函数, ∴Φ(x)的第k阶阶梯函数图象的最高点为Pk(2k+2,4+3k), 第k+1阶阶梯函数图象的最高点为Pk+1(2k+4,7+3k), 所以过Pk、P k+1这两点的直线的斜率为k=.同理可得过Pk+1、 P k+2这两点的直线的斜率也为.所以,Φ(x)的各阶阶梯函数图象的最高点共线. (2)若Φ(x)=x2,则fk(x)=(x-2k)2+3k,fk(x)<(1-3k)x+4k2+3k-1⇔(x-2k)2+3k<(1-3k)x+4k2+3k-1, 整理得出x2-(k+1)x+1<0.当k=1时,x2-2x+1<0无解,当k≥2时,x2-(k+1)x+1<0, 得出     ① 又根据x∈(2k,2k+2],k∈Z           ② 又根据,①②无公共部分,即不存在正整数k满足题意.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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