Question

对函数Φ（x），定义f_k（x）=Φ（x-mk）+nk（其中x∈（mk，m+mk]，k∈Z，m＞0，n＞0，且m、n为常数）为Φ（x）的第k阶阶梯函数，m叫做阶宽，n叫做阶高，已知阶宽为2，阶高为3．
（1）当Φ（x）=2^x时
①求f（x）和f_k（x）的解析式；
②求证：Φ（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线；
（2）若Φ（x）=x²，则是否存在正整数k，使得不等式f_k（x）＜（1-3k）x+4k²+3k-1有解？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用题目中给出的阶梯函数的定义解决该类问题．关键要理解阶梯函数的定义以及一些字母和符号的含义．为求解函数解析式做准备，证明共线只需说明各点连线的斜率相等；
（2）掌握探究性问题的解决方法，要假设存在正整数，寻找相应的关系式进行求解或说明．
【解析】
（1）①f（x）=Φ（x））=2x，x∈（0，2]；fk（x）=Φ（x-2k）+3k=2 x-2k+3k，x∈（2k，2k+2]，k∈Z．
②∵fk（x）=2 x-2k+3k，x∈（2k，2k+2]，k∈Z是增函数，
∴Φ（x）的第k阶阶梯函数图象的最高点为Pk（2k+2，4+3k），
第k+1阶阶梯函数图象的最高点为Pk+1（2k+4，7+3k），
所以过Pk、P k+1这两点的直线的斜率为k=．同理可得过Pk+1、
P k+2这两点的直线的斜率也为．所以，Φ（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线．

（2）若Φ（x）=x2，则fk（x）=（x-2k）2+3k，fk（x）＜（1-3k）x+4k2+3k-1⇔（x-2k）2+3k＜（1-3k）x+4k2+3k-1，
整理得出x2-（k+1）x+1＜0．当k=1时，x2-2x+1＜0无解，当k≥2时，x2-（k+1）x+1＜0，
得出     ①
又根据x∈（2k，2k+2]，k∈Z           ②
又根据，①②无公共部分，即不存在正整数k满足题意．