Question

已知{a_n}为等差数列，公差d≠0，{a_n}的部分项恰为等比数列，若k₁=1，k₂=5，k₃=17，
（1）求k_n；
（2）求k₁+2k₂+3k₃+…+nk_n．

Answer

（1）通过数列中k1=1，k2=5，k3=17时成等比数列，求出a1与d的关系，然后求出数列的公比，然后利用的值求出kn；
（2）利用（1）的结果，直接写出k1+2k2+3k3+…+nkn得到一个等差数列，和一个等差数列与一个等比数列对应项乘积的数列，通过错位相减法求出和即可．
【解析】
（1）设等比数列的公比为q
∵k1=1，k2=5，k3=17
∴a1•a17=a52 即 a1（a1+16d）=（a1+4d）2，
 得 a1d=2d2
∵d≠0∴a1=2d，
∵
∴kn=2×3n-1-1，n∈N*
（2）k1+2k2+3k3+…+nkn
=（2×3-1）+2×（2×31-1）+…+n×（2×3n-1-1）
=2×（1×3+2×31+…+n×3n-1）-（1+2+…+n）
设Sn=1×3+2×31+…+n×3n-1，
则3Sn=1×31+2×32+…+n×3n，
两式相减得：
∴
∴k1+2k2+3k3+…+nkn=