Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB-bcosA=2c．
（Ⅰ）求证：tanA=-3tanB；
（Ⅱ）求角C的最大值．

Answer

（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理及诱导公式，两角和的正弦公式对acosB-bcosA=2c化简可证明
（Ⅱ）由acosB-bcosA=2c＞0，可知B必是锐角，A是钝角，由A+B+C=π，及诱导公式，tanA=-3tanB，可得tanC=，利用基本不等式可求C的最大值
【解析】
（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理及acosB-bcosA=2c，（2分）
可得sinAcosB-sinBcosA=2sinC=2sin（A+B）=2sinAcosB+2cosAsinB
∴sinAcosB=-3cosAsinB，故tanA=-3tanB；                      （4分）
（Ⅱ）由tanA=-3tanB，可知在A，B中必一个是钝角，另一个是锐角；     （6分）
假设B是钝角，则acosB-bcosA=2c＜0，与已知矛盾，故B必是锐角，A是钝角，
∵A+B+C=π，
故，
将tanA=-3tanB代入，得，（8分）
故，当且仅当，即时等号成立，此时，
也即当，时，C取得最大值．                           （12分）