Question

甲乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下，
甲运动员

乙运动员

若将频率视为概率，回答下列问题，
（1）求甲运动员击中10环的概率
（2）求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率
（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，ξ表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求ξ的分布列及Eξ．

Answer

（1）根据所给的表格，根据样本容量和概率的特点得到表格中的未知数，由表格得到甲运动员击中10环的概率，可以求出两个运动员射中任意环的概率．
（2）由表格看出甲运动员在一次射击中击中9环以上（含9环）的概率，甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上的对立事件是甲射击3次一次也没有击中9环，用对立事件的概率做出结果．
（3）要射击3次，ξ表示这3次射击中击中9环以上（含9环）的次数的取值是0、1、2、3，根据互斥事件和相互独立事件同时发生的概率做出结果分布列和期望．
【解析】
由题意知：10+10+x+35=100，
∴x=45，
y==0.35，
8+12+z+80×0.35=80，
∴z=32，
（1）设“甲运动员击中10环”为事件A，
P（A）=0.35
∴甲运动员击中10环的概率为0.35．
（2）设甲运动员击中9环为事件A1，击中10环为事件A2
则甲运动员在一次射击中击中9环以上（含9环）的概率
P=（A1+A2）=P（A1）+P（A2）
=0.45+0.35=0.8
∴甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上（含9环）的概率
P=1-[1-P（A1+A2）]3=1-0.23=0.992
（3）ξ的可能取值是0，1，2，3
P（ξ=0）=0.22×0.25=0.01
P（ξ=1）=C21×0.2×0.8×0.25+0.22×0.75=0.11
P（ξ=2）=0.82×0.25+C21×0.8×0.2×0.75=0.4
P（ξ=3）=0.82×0.75=0.48
所以ξ的分布列是

∴Eξ=0×0.01+1×0.11+2×0.4+3×0.48=2.35．