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满分5
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高中数学试题
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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90o,AB=AC=a,AA1...
如图,在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,∠BAC=90
o
,AB=AC=a,AA
1
=b,点E,F分别在棱BB
1
,CC
1
上,且
,
.设
.
(1)当λ=3时,求异面直线AE与A
1
F所成角的大小;
(2)当平面AEF⊥平面A
1
EF时,求λ的值.
(1)本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题,建立空间坐标系,给出有关点的坐标,设出点F的坐标,求异面直线AE与A1F的方向向量,利用利用夹角公式求异面直线AE与A1F所成角的余弦值即可. (2)分别同平面AEF的法向量为和平面A1EF的一个法向量.再根据平面AEF⊥平面A1EF,得出向量的数量积为0,即可求解得λ的值. 【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz. (1)设a=1,则AB=AC=1,AA1=3, 各点的坐标为A(0,0,0),E(1,0,1), A1(0,0,3),F(0,1,2). ,. ∵,, ∴. ∴向量和所成的角为120o, ∴异面直线AE与A1F所成角为60°;(4分) (2)∵,, ∴. 设平面AEF的法向量为n1(x,y,z), 则,且. 即,且. 令z=1,则. ∴=是平面AEF的一个法向量.(6分) 同理,=是平面A1EF的一个法向量.(8分) ∵平面AEF⊥平面A1EF,∴n1•n2=0.∴. 解得,. ∴当平面AEF⊥平面A1EF时,.
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考点分析:
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试题属性
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