Question

已知数列{a_n}满足：a₁=0，，n=2，3，4，…．
（Ⅰ）求a₅，a₆，a₇的值；
（Ⅱ）设，试求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）对于任意的正整数n，试讨论a_n与a_n+1的大小关系．

Answer

（Ⅰ）由题意知a1=0，a2=1+2a1=1，a3=2+2a1=2，a4=1+2a2=3，由此可知a5=3+2a2=5；a6=1+2a3=5；a7=4+2a3=8．
（Ⅱ）由题设条件知，由此可知．
（Ⅲ）对于任意的正整数k，当n=2k或n=1，3时，an＜an+1；当n=4k+1时，an=an+1；当n=4k+3时，an＞an+1．再由题设条件进行证明．
【解析】
（Ⅰ）∵a1=0，a2=1+2a1=1，a3=2+2a1=2，a4=1+2a2=3，
∴a5=3+2a2=5；a6=1+2a3=5；a7=4+2a3=8．（3分）
（Ⅱ）由题设，对于任意的正整数n，都有：，
∴．∴数列{bn}是以为首项，为公差的等差数列．
∴．（7分）
（Ⅲ）对于任意的正整数k，
当n=2k或n=1，3时，an＜an+1；
当n=4k+1时，an=an+1；
当n=4k+3时，an＞an+1．（8分）
证明如下：
首先，由a1=0，a2=1，a3=2，a4=3可知n=1，3时，an＜an+1；
其次，对于任意的正整数k，n=2k时，an-an+1=a2k-a2k+1=（1+2ak）-（k+1+2ak）=-k＜0；（9分）n=4k+1时，
an-an+1=a4k+1-a4k+2
=（2k+1+2a2k）-（1+2a2k+1）
=2k+2a2k-2a2k+1
=2k+2（1+2ak）-2（k+1+2ak）
=0
所以，an=an+1．（10分）n=4k+3时，an-an+1=a4k+3-a4k+4
=（2k+2+2a2k+1）-（1+2a2k+2）
=2k+1+2a2k+1-2a2k+2
=2k+1+2（k+1+2ak）-2（1+2ak+1）
=4（k+ak-ak+1）+1
事实上，我们可以证明：对于任意正整数k，k+ak≥ak+1（*）（证明见后），所以，此时，an＞an+1．
综上可知：结论得证．（12分）
对于任意正整数k，k+ak≥ak+1（*）的证明如下：
1）当k=2m（m∈N*）时，k+ak-ak+1=2m+a2m-a2m+1=2m+（1+2am）-（m+1+2am）=m＞0，
满足（*）式．
2）当k=1时，1+a1=1=a2，满足（*）式．
3）当k=2m+1（m∈N*）时，
k+ak-ak+1=2m+1+a2m+1-a2m+2
=2m+1+（m+1+2am）-（1+2am+1）
=3m+1+2am-2am+1
=2（m+am-am+1）+（m+1）
于是，只须证明m+am-am+1≥0，如此递推，可归结为1）或2）的情形，于是（*）得证．（14分）