Question

对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．
①对任意的x∈[0，1]，总f（x）≥0；
②当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，总有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂成立．
已知函数g（x）=x²与h（x）=a&•2^x-1是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程g（2^x-1）+h（x）=m（m∈R）解的个数情况．

Answer

（1）对照定义，分别验证即可；
（2）由于函数h（x）是G函数，对照定义分类讨论：若a＜1时，h（0）=a-1＜0不满足①，所以不是G函数；
若a≥1时，h（x）在x∈[0，1]上是增函数，则h（x）≥0，满足①，由定义h（x1+x2）≥h（x1）+h（x2），则可化简为，从而有a≤1，故可确定a的值；
（3）根据（2）知：a=1，方程为4x-2x=m，利用换元法，根据二次函数的图象可进行讨论．
【解析】
（1）当x∈[0，1]时，总有g（x）=x2≥0，满足①，…（1分）
当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，g（x1+x2）=x12+x22+2x1x2≥x12+x22=g（x1）+g（x2），满足②…（4分）
故函数g（x）是G函数；
（2）若a＜1时，h（0）=a-1＜0不满足①，所以不是G函数；…（5分）
若a≥1时，h（x）在x∈[0，1]上是增函数，则h（x）≥0，满足①…（6分）
由h（x1+x2）≥h（x1）+h（x2），得，
即，…（7分）
因为x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1
所以 x1与x2不同时等于1∴∴∴…（9分）
当x1=x2=0时，∴a≤1，…（11分）
综合上述：a∈{1}…（12分）
（3）根据（2）知：a=1，方程为4x-2x=m，
由得 x∈[0，1]…（14分）
令2x=t∈[1，2]，则…（16分）
由图形可知：当m∈[0，2]时，有一解；
当m∈（-∞，0）∪（2，+∞）时，方程无解．…（18分）