Question

已知数列{a_n}是递增数列，且满足a₃•a₅=16，a₂+a₆=10．
（1）若{a_n}是等差数列，求数列{a_n}的前7项和S₇；
（2）若{a_n}是等比数列，令，求数列{b_n}的通项公式；
（3）对于（1）中的{a_n}与（2）中的{b_n}，令c_n=（a_n+7）b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）根据题意：a2+a6=10=a1+a7，由此得的值．
（2）根据题意：a2+a6=10，a3•a5=16=a2+a6，解得a2=2，a6=8，求出它的通项公式 ，由，求数列{bn}的通项公式．
（3）对于（1）中的{an}，an=3n-7，再由（2）得 ，故 cn=n•2n，用错位相减法求数列{an} 的前n项和 Tn 的值．
【解析】
（1）根据题意：a2+a6=10=a1+a7，由此得．…（4分）
（2）根据题意：a2+a6=10，a3•a5=16=a2+a6，知：a2，a6是方程x2-10x+16=0的两根，
且a2＜a6，解得a2=2，a6=8，故得其公比为，
故．…（4分）
（3）对于（1）中的{an}，由a3 +a5=a2+a6=10，a3•a5=16，
可得a3 =2，a5=8，设公差为d，则 8=2+2d，d=3，故 a1 =-4．
得an=-4+（n-1）×3=3n-7，再由（2）得 ，故 cn=n•2n，…（11分）
用错位相减法求数列{an} 的前n项和 Tn ．
Tn=1×21+2×22+…+（n-1）•2n-1+n•2n，
2Tn=1×22+2×23+…+（n-1）•2n+n•2n+1，
Tn=n•2n+1-（21+22+23+…+2n）=（n-1）2n+1+2．…（13分）