Question

已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿BD将△BCD翻折到△BC'D，使得平面BC'D⊥平面ABD．
（Ⅰ）求直线BD与平面BEC'所成角的正弦值；
（Ⅱ）求二面角D-BE-C'的余弦值．

Answer

（Ⅰ）先证明C'D⊥平面ABD，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz．推出点D、A、B、C'的坐标，求出，通过求出平面BEC'法向量为，利用求直线BD与平面BEC'所成角的正弦值；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）平面BEC'法向量为，以及平面DBE的法向量，通过，求二面角D-BE-C'的余弦值．
【解析】
（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，
沿直线BD将△BCD翻折成△BC'D
可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，
即BC'2=C'D2+BD2，故CD⊥BD，C'D⊥BD．
∵平面BC'D⊥平面ABD，平面BC'D∩平面ABD=BD，C'D⊂平面BC'D，
∴C'D⊥平面ABD．              …（4分）
如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz．
则D（0，0，0），A（8，6，0），B（8，0，0），C'（0，0，6）．
∵E是线段AD的中点，∴E（4，3，0），．
在平面BEC'中，，，
设平面BEC'法向量为，
∴，即，
令x=3，得y=4，z=4，故．
设直线BD与平面BEC'所成角为θ，则．
∴直线BD与平面BEC'所成角的正弦值为．     …（9分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面BEC'的法向量为，而平面DBE的法向量为，
∴，
因为二面角D-BE-C'为锐角，
所以二面角D-BE-C'的余弦值为． …（12分）