Question

为了加快县域经济的发展，某县选择两乡镇作为龙头带动周边乡镇的发展，决定在这两个镇的周边修建环形高速公路，假设一个单位距离为10km，两镇的中心A、B相距8个单位距离，环形高速公路所在的曲线为E，且E上的点到A、B的距离之和为10个单位距离，在曲线E上建一个加油站M与一个收费站N，使M、N、B三点在一条直线上，并且AM+AN=12个单位距离．
（1） 建立如图的直角坐标系，求曲线E的方程及M、N之间的距离有多少个单位距离；
（2）A、B之间有一条笔直公路Z与AB所在直线成45°，且与曲线E交于P，Q两点，该县招商部门引进外资在四边形PAQB区域开发旅游业，试问最大的开发区域是多少？（平方单位距离）

Answer

（1）以AB为x轴，以A中点为原点O建立直角坐标系，设曲线上的点P（x，y），|PA|+|PB|=10＞|AB|=8，动点轨迹为椭圆，且a=5，由此能够求出曲线E的方程．再由|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20，|AM|+|AN|=12，能够求出|MN|．
（2）将y=x+t代入，得34y2-18ty+9t2-25×9=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），再由根与系数的关系进行求解．
【解析】
（1）以AB为x轴，以A中点为原点O建立直角坐标系，设曲线上的点P（x，y），
∵|PA|+|PB|=10＞|AB|=8，
∴动点轨迹为椭圆，且a=5，c=4，b=3，
∴曲线E的方程是．
由|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20，|AM|+|AN|=12，
∴|MN|=8．
（2）将y=x+t代入，得34y2-18ty+9t2-25×9=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，
|y1-y2|==．

=．
∴当t=0时，面积最大是，此是直线为l：y=x．