Question

设数列{a_n}是以a为首项，t为公比的等比数列，令b_n=1+a₁+a₂+…+a_n，c_n=2+b₁+b₂+…+b_n，n∈N
（1）试用a，t表示b_n和c_n
（2）若a＞0，t＞0且t≠1，试比较c_n与c_n+1（n∈N）的大小
（3）是否存在实数对（a，t），其中t≠1，使得{c_n}成等比数列，若存在，求出实数对（a，t）和{c_n}；若不存在说明理由．

Answer

（1）注意到bn=1+a1+a2+…+an除 首项，其余是数列{an} 各项，按照等比数列求和公式可表示出bn，再去求cn．注意对公比t是否为1进行讨论．
（2），由此再判判断．
（3），若成等比数列，根据通项公式特点须研究方程组解得情况，做出判断．
【解析】
（1）当t=1时，an=a1=a，bn=1+na，
当t≠1时，an=atn-1，
∴
（2）
当t＞1时，1-t＜0，1-tn+1＜0，而已知a＞0，∴∴cn+1-cn＞0
同理当0＜t＜1时，1-t＞0，1-tn+1＞0，而已知a＞0，∴∴cn+1-cn＞0
综上所述cn+1＞cn
（3）若成等比数列，则令
由（2），得a=t-1代入（1），得
此时cn=2n+1=4×2n-1
所以存在实数对（a，t）为（1，2），使得{cn}成为以4为首项，2为公比的等比数列．