Question

已知数列{a_n}中，a₁=0，，n∈N^*．
（1）求证：是等差数列；并求数列{a_n}的通项公式；
（2）假设对于任意的正整数m、n，都有|b_n-b_m|＜ω，则称该数列为“ω域收敛数列”．试判断：数列，n∈N^*是否为一个“域收敛数列”，请说明你的理由．

Answer

（1）根据题中所给出的等式，求数列的相邻两项的差，并将这个差进行化简，最终得出这个差等于-1，得出数列是公差为-1的等差数列，则不难通过数列求出数列{an}的通项公式；
（2），说明数列{bn}的奇数项为负数，偶数项为正数．通过作差：|bn+1|-|bn|，化简得|bn+1|-|bn|=，讨论得当n=3时，|b3|是数列{|bn|}的最大项，但是b3＜0，说明b3是{bn}最小的项，而在正数项中，绝对第二大的项可能是b2或b4，通过作差比较可得b2是数列{bn}的最大项．在此基础之上不难用定义：对于任意的正整数m、n，都有|bn-bm|＜ω，则称该数列为“ω域收敛数列”，证明数列{bn}是一个“域收敛数列”了．
证：（1）因为，
所以，n∈N*；
故是等差数列．
由此可得，，
所以，n∈N*．
（2）由条件，
可知当n=2k，bn＞0；当n=2k-1时，bn≤0，k∈N*．
令，则=．
∴当-n2+5＞0⇒n≤2时，|bn+1|＞|bn|；
同理可得，当-n2+5＜0⇒n≥3时，|bn+1|＜|bn|；
即数列{|bn|}在n=1，2，3时递增；n≥4时，递减；
即|b3|是数列{|bn|}的最大项．
然而，因为{bn}的奇数项均为-|bn|，故为数列{bn}的最小项；
而，，
所以b2＞b4，故b2是数列{bn}的最大项．
∴对任意的正整数m、n，，
∴数列，n∈N*是一个“域收敛数列”．