Question

如图，已知圆C：x²+y²=r²与x轴负半轴的交点为A．由点A出发的射线l的斜率为k，且k为有理数．射线l与圆C相交于另一点B．
（1）当r=1时，试用k表示点B的坐标；
（2）当r=1时，试证明：点B一定是单位圆C上的有理点；（说明：坐标平面上，横、纵坐标都为有理数的点为有理点．我们知道，一个有理数可以表示为，其中p、q均为整数且p、q互质）
（3）定义：实半轴长a、虚半轴长b和半焦距c都是正整数的双曲线为“整勾股双曲线”．
当0＜k＜1时，是否能构造“整勾股双曲线”，它的实半轴长、虚半轴长和半焦距的长恰可由点B的横坐标、纵坐标和半径r的数值构成？若能，请尝试探索其构造方法；若不能，试简述你的理由．

Answer

（1）当r=1时，可知A点坐标，就可设出直线l的点斜式方程，代入圆方程，解出B点坐标．
（2）由（1）中求出的用k表示点B的坐标，来判断，当k为有理数时，点B是否为有理点，当B为有理点时，k是否为有理数，证明中用到一个有理数可以表示为，即若一个数是有理数，则这个数一定可以表示成的形式，若一个数可以表示成的形式，则这个数一定为有理数．
（3）先假设当0＜k＜1时，能构造“整勾股双曲线”，它的实半轴长、虚半轴长和半焦距的长恰可由点B的横坐标、纵坐标和半径r的数值构成．由（2）中结论，可找到此双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距，都用含p，q，r的式子表示，其中，p，q，r均为整数，且p，q互质．据此求出k值，看是否为整数，若是，则假设成立，若不是，则假设不成立．
【解析】
（1）设点B的坐标为B（x2，y2）．由题意，点A的坐标为（-1，0），于是可设射线l的方程
为y=k（x+1），代入圆C的方程可得：x2+k2（x+1）2=1⇔（1+k2）x2+2k2x+（k2-1）=0．①
方程①中，一个解必为x=-1，则由根与系数关系可知点B的横坐标为；代入直线方程可得．∴点B的坐标即为．
（2）充分性：设射线l的斜率（其中p、q均为整数且p、q互质），则由（1）可知，．因为p、q均为整数，所以x2、y2必为一个有理数，从而B点必为一个有理点．
必要性：若B点为有理点，则可设，（其中p1、q1、p2、q2均为整数且p1和q1互质、p2和q2互质）于是，，因为p1、q1、p2、q2均为整数，所以k必为一个有理数．
（3）设B点的坐标为（x2，y2）．当0＜k＜1时，B点必定落在第一象限的四分之一圆周上，即x2＞0，y2＞0．而由x22+y22=r2，所以B的横坐标x2、纵坐标y2以及圆的半径r必能构成某个双曲线的一组实半轴长、虚半轴长和半焦距的数据．由（2）结论可知，此时点B的坐标应为其中p、q此时均为正整数且p、q互质．
于是，只要构造圆半径r=（p2+q2）•m（其中m为正整数）时，则会有x2=|p2-q2|•m，y2=2pq•m，它们都为正整数，且满足x22+y22=r2．
因此，对于斜率为（其中p、q均为整数，p＞q＞0且p、q互质）的斜线l，只需确定圆的半径满足r=（p2+q2）•m（其中m为正整数），则必定能构造“整勾股双曲线”满足题意．
特别地，因为当x2=y2时，点B坐标必为，而此时射线l的斜率为，不是有理数．∴构造出的双曲线一定不是等轴双曲线，即由x2≠y2，可构造的“整勾股双曲线”的实半轴长、虚半轴长和半焦距长可由和构成，且个数一定为偶数个．