Question

如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，使，得到三棱锥B-ACD．
（Ⅰ）若点M是棱BC的中点，求证：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-O的余弦值；
（Ⅲ）设点N是线段BD上一个动点，试确定N点的位置，使得，并证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）由题意及图形可以得出OM是中位线，则OM∥AB，再由线面平行的判定定理得出OM∥平面ABD；、
（Ⅱ）建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，得出图形中各点的坐标，求出两个平面平面ABD的法向量及平面BOD的法向量，再由公式求出两个平面的夹角；
（Ⅲ）设出点N的坐标，得出线段CN对应的向量的坐标，求出它的模，利用其长度等于建立方程求出点N的坐标
【解析】
（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，
所以O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，
所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB．…（1分）
因为OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，
所以OM∥平面ABD．…（3分）
（Ⅱ）由题意，OB=OD=3，
因为，
所以∠BOD=90°，OB⊥OD．…（4分）
又因为菱形ABCD，所以OB⊥AC，OD⊥AC．
.，B（0，0，3）．
所以，…（6分）
设平面ABD的法向量为n=（x，y，z），
则有即：
令x=1，则，所以n=．…（7分）
因为AC⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD．
平面BOD的法向量与AC平行，
所以平面BOD的法向量为n=（1，0，0）．…（8分）
∴，
因为二面角A-BD-O是锐角，
所以二面角A-BD-O的余弦值为．…（9分）
（Ⅲ）因为N是线段BD上一个动点，设N（x1，y1，z1），，
则（x1，y1，z1-3）=λ（0，3，-3），
所以x1=0，y1=3λ，z1=3-3λ，…（10分）
则N（0，3λ，3-3λ），，
由得，即9λ2-9λ+2=0，…（11分）
解得或，…（12分）
所以N点的坐标为（0，2，1）或（0，1，2）．…（13分）
（也可以答是线段BD的三等分点，或）